$p$ と $q$ を $p < q$ を満たす素数、$n$ を自然数とする。 (1) $pq$ と $p+q$ は互いに素であることを示す。 (2) $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ を満たす $p, q, n$ の値の組をすべて求める。 (3) $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ を満たす $p, q, n$ の値の組をすべて求める。

1. 問題の内容

$p$ と $q$ を $p < q$ を満たす素数、$n$ を自然数とする。

(1) $pq$ と $p+q$ は互いに素であることを示す。

(2) $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ を満たす $p, q, n$ の値の組をすべて求める。

(3) $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ を満たす $p, q, n$ の値の組をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

$pq$ と $p+q$ が互いに素でないと仮定すると、ある素数 $r$ が存在し、$pq$ と $p+q$ をともに割り切る。

$r$ は $pq$ を割り切るので、$r=p$ または $r=q$ である。

もし $r=p$ ならば、$p$ は $p+q$ を割り切るので、$p$ は $q$ を割り切る。しかし、$q$ は素数なので、$q=p$ となるが、$p < q$ に矛盾する。

もし $r=q$ ならば、$q$ は $p+q$ を割り切るので、$q$ は $p$ を割り切る。しかし、$p$ は素数なので、$p=q$ となるが、$p < q$ に矛盾する。

したがって、$pq$ と $p+q$ は互いに素である。

(2)

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ より、

$\frac{p+q}{pq} = \frac{1}{n}$

$n(p+q) = pq$

$pq - np - nq = 0$

$pq - np - nq + n^2 = n^2$

$(p-n)(q-n) = n^2$

$p < q$ より、$p-n < q-n$ である。

$n^2$ の約数の組を $(a, b)$ とすると、$p-n = a$ かつ $q-n = b$ であり、$ab = n^2$ を満たす。

$p = a+n$, $q = b+n$

$n=1$ のとき、$ab=1$ より、$a=b=1$。$p=2, q=2$ となるが、$p<q$ に矛盾。

$n=2$ のとき、$ab=4$ より、$(a, b)=(1, 4), (2, 2)$。

$(a, b)=(1, 4)$ のとき、$p=3, q=6$ となるが、$q$ は素数でないので不適。

$(a, b)=(2, 2)$ のとき、$p=4, q=4$ となるが、$p, q$ は素数で、$p<q$ に矛盾。

$n=3$ のとき、$ab=9$ より、$(a, b)=(1, 9), (3, 3)$。

$(a, b)=(1, 9)$ のとき、$p=4, q=12$ となるが、$p, q$ は素数でないので不適。

$(a, b)=(3, 3)$ のとき、$p=6, q=6$ となるが、$p, q$ は素数で、$p<q$ に矛盾。

$n=4$ のとき、$ab=16$ より、$(a, b)=(1, 16), (2, 8), (4, 4)$。

$(a, b)=(1, 16)$ のとき、$p=5, q=20$ となるが、$q$ は素数でないので不適。

$(a, b)=(2, 8)$ のとき、$p=6, q=12$ となるが、$p, q$ は素数でないので不適。

$(a, b)=(4, 4)$ のとき、$p=8, q=8$ となるが、$p, q$ は素数で、$p<q$ に矛盾。

$p=2$ のとき、$2n+qn=2q$ より、$q(2-n)=2n$ なので、$q=\frac{2n}{2-n}$

$n=1$ のとき、$q=2$ となるが、$p<q$ に矛盾。

$p=3$ のとき、$3n+qn=3q$ より、$q(3-n)=3n$ なので、$q=\frac{3n}{3-n}$

$n=1$ のとき、$q=\frac{3}{2}$ となるので不適。

$n=2$ のとき、$q=6$ となるので不適。

$p=5$ のとき、$5n+qn=5q$ より、$q(5-n)=5n$ なので、$q=\frac{5n}{5-n}$

$n=1$ のとき、$q=\frac{5}{4}$ となるので不適。

$n=2$ のとき、$q=\frac{10}{3}$ となるので不適。

$n=3$ のとき、$q=\frac{15}{2}$ となるので不適。

$n=4$ のとき、$q=20$ となるので不適。

$p=2, \frac{1}{2} + \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ より、$\frac{1}{q} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2} = \frac{2-n}{2n}$

$q = \frac{2n}{2-n}$ となる。$2-n > 0$ より、$n=1$ のとき、$q=2$。しかし、$p<q$ より、$2<2$ となるので矛盾。

従って、$p=3, q=2, n=1$

(3)

$\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ より、

$\frac{q-p}{pq} = \frac{1}{n}$

$n(q-p) = pq$

$pq+np-nq = 0$

$pq+np-nq-n^2 = -n^2$

$(p-n)(q+n)=-n^2$.

ここで、$n(q-p) = pq$ より、$nq - np = pq > 0$ なので、$nq > np$ であり、$q > p$.

$p < q$ より、$q-p > 0$. よって、$n = \frac{pq}{q-p}$

$(2, 3, 6)$, $(2, 5, \frac{10}{3})$

$(3, 5, \frac{15}{2})$, $(3, 7, \frac{21}{4})$

$(5, 7, \frac{35}{2})$

$\frac{1}{p}-\frac{1}{q} = \frac{1}{n}$ より $\frac{q-p}{pq} = \frac{1}{n}$ なので、$n = \frac{pq}{q-p}$.

$p=2$ のとき、$n = \frac{2q}{q-2}$

$q=3$ のとき、$n = \frac{6}{1} = 6$. よって、$(2, 3, 6)$.

$q=5$ のとき、$n = \frac{10}{3}$. これは整数ではないので不適。

$q=7$ のとき、$n = \frac{14}{5}$. これは整数ではないので不適。

$p=3$ のとき、$n = \frac{3q}{q-3}$

$q=5$ のとき、$n = \frac{15}{2}$. これは整数ではないので不適。

$q=7$ のとき、$n = \frac{21}{4}$. これは整数ではないので不適。

$p=5$ のとき、$n = \frac{5q}{q-5}$

$q=7$ のとき、$n = \frac{35}{2}$. これは整数ではないので不適。

最終的に$(2, 3, 6)$のみが条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $pq$ と $p+q$ は互いに素である。（証明済み）

(2) 解なし

(3) $(p, q, n) = (2, 3, 6)$