円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAD$ の二等分線が点Cと交わる。辺AD, BCの延長線の交点を点Eとしたとき、$AE = 6$, $BE = AB = 4$ である。このとき、以下の問いに答えよ。 (i) 辺ADの長さを求めよ。 (ii) $\triangle ACD$の面積$S$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BAD$ の二等分線が点Cと交わる。辺AD, BCの延長線の交点を点Eとしたとき、$AE = 6$, $BE = AB = 4$ である。このとき、以下の問いに答えよ。

(i) 辺ADの長さを求めよ。

(ii) $\triangle ACD$の面積$S$を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 辺ADの長さを求める。

$\angle BAC = \angle CAD$ (二等分線より)

$\angle BAC = \angle BDC$ (円周角の定理より)

$\angle CAD = \angle BDC$

したがって、$\triangle ABE$と$\triangle DCE$は相似である。

$AE:DE = BE:CE = AB:CD$

$AE = 6$, $BE = 4$, $AB = 4$

$CE = BC+BE$ であり、$BC = EC - EB$となる。

方べきの定理より、$EA \cdot ED = EB \cdot EC$

$6 \cdot ED = 4 \cdot EC$

$3ED = 2EC$

$ED = \frac{2}{3}EC$

$AD = ED - EA = \frac{2}{3}EC - 6$

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より、

$AB:CD = AE:DE = BE:CE$

$4:CD = 6:\frac{2}{3}EC = 4:EC$

$6:\frac{2}{3}EC = 4:EC$

$6EC = \frac{8}{3}EC$

これは成り立たないので、$\triangle ABE$と$\triangle DCE$が相似であるという仮定が間違っている。

$\angle BAC = \angle CAD$である。

$\angle BAC = \angle BDC$（円周角の定理）

$\angle CAD = \angle BDC$

よって、$\triangle ADC$と$\triangle BCD$に着目すると、$\angle CAD = \angle CBD$である。

$\triangle ABE$に着目すると、$AB=BE=4$なので、$\triangle ABE$は二等辺三角形である。

したがって、$\angle BAE = \angle BEA$

$\angle BAE = \angle CAD$であるので、$\angle BEA = \angle CAD$

$\angle BEA = \angle CAD$ より、$\triangle ACE$と$\triangle ACB$は相似である。

したがって、$AE:AB = AC:BC = CE:AC$

$6:4 = CE:AC$

$AC^2 = 4CE$

$AC:BC = 6:4$ より、$AC = \frac{3}{2}BC$

$CE = BC+BE = BC+4$

$AC^2 = \frac{9}{4}BC^2 = 4(BC+4)$

$9BC^2 = 16BC + 64$

$9BC^2 - 16BC - 64 = 0$

$(BC-4)(9BC+16) = 0$

$BC = 4$ $(BC > 0)$

$AC = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

$\triangle ACE$と$\triangle ACB$は相似であるので、

$\angle CAE = \angle CBA$

$\angle AEC = \angle BAC$

$AD \parallel BC$であるので、$\triangle ADE$と$\triangle BCE$は相似である。

$AD:BC = AE:BE = DE:CE$

$AE = 6$, $BE = 4$, $BC = 4$

$AD:4 = 6:4$

$AD = 6$

(ii) $\triangle ACD$の面積$S$を求める。

$AD = 6$, $BC = 4$

$\triangle ADE \sim \triangle BCE$より、$\triangle ADE$の高さと$\triangle BCE$の高さの比は、$6:4 = 3:2$

$\triangle ACE$の面積を$T$とすると、$\triangle ABC$の面積は$\frac{2}{3}T$

$\triangle CDE$の面積を$U$とすると、$\triangle ABE$の面積は$\frac{9}{4}U$

$\triangle ACE$の面積$= \frac{1}{2} \cdot AE \cdot AC \cdot \sin \angle EAC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin \angle EAC = 18\sin \angle EAC$

$\triangle ABC$の面積$= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin \angle ABC = 8\sin \angle ABC$

$\angle EAC = \angle CBA$より、$\triangle ACE = \frac{9}{4} \triangle ABC$となるはずである。

3. 最終的な答え

(i) ADの長さ: 6

(ii) $\triangle ACD$の面積: 検討中