次の条件を満たす一次関数の式を求める問題です。具体的には、以下の4つの条件に対応する一次関数 $y = ax + b$ を求めます。 (1) 変化の割合が $5$ で、$x = 0$ のとき $y = -4$ である。 (2) 変化の割合が $\frac{2}{5}$ で、$x = -10$ のとき $y = 2$ である。 (3) $x$ の値が $4$ 増加するとき $y$ の値が $2$ 減少し、$x = 1$ のとき $y = -1$ である。 (4) $x = -3$ のとき $y = 5$, $x = 1$ のとき $y = -3$ である。

1. 問題の内容

次の条件を満たす一次関数の式を求める問題です。具体的には、以下の4つの条件に対応する一次関数 $y = ax + b$ を求めます。

(1) 変化の割合が $5$ で、$x = 0$ のとき $y = -4$ である。

(2) 変化の割合が $\frac{2}{5}$ で、$x = -10$ のとき $y = 2$ である。

(3) $x$ の値が $4$ 増加するとき $y$ の値が $2$ 減少し、$x = 1$ のとき $y = -1$ である。

(4) $x = -3$ のとき $y = 5$, $x = 1$ のとき $y = -3$ である。

2. 解き方の手順

(1) 一次関数の式は $y = ax + b$ と表されます。変化の割合は $a$ なので、$a = 5$ です。$x = 0$ のとき $y = -4$ ということは、$y$ 切片が $-4$ であることを意味するので、$b = -4$ です。したがって、一次関数の式は $y = 5x - 4$ となります。

(2) 変化の割合は $a = \frac{2}{5}$ です。したがって、$y = \frac{2}{5}x + b$ と表せます。$x = -10$ のとき $y = 2$ なので、これを代入して $2 = \frac{2}{5}(-10) + b$ を解きます。$2 = -4 + b$ より、$b = 6$ となります。したがって、一次関数の式は $y = \frac{2}{5}x + 6$ となります。

(3) $x$ の値が $4$ 増加するとき $y$ の値が $2$ 減少するので、変化の割合は $a = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ です。したがって、$y = -\frac{1}{2}x + b$ と表せます。$x = 1$ のとき $y = -1$ なので、$-1 = -\frac{1}{2}(1) + b$ を解きます。$-1 = -\frac{1}{2} + b$ より、$b = -\frac{1}{2}$ となります。したがって、一次関数の式は $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ となります。

(4) 異なる二つの点 $(-3, 5)$ と $(1, -3)$ を通る一次関数の式を求めます。変化の割合は $a = \frac{-3 - 5}{1 - (-3)} = \frac{-8}{4} = -2$ です。したがって、$y = -2x + b$ と表せます。$x = 1$ のとき $y = -3$ なので、$-3 = -2(1) + b$ を解きます。$-3 = -2 + b$ より、$b = -1$ となります。したがって、一次関数の式は $y = -2x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 5x - 4$

(2) $y = \frac{2}{5}x + 6$

(3) $y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

(4) $y = -2x - 1$