自然数 $n$ に対して、$\sqrt{n^2 + 1125}$ が整数となる $n$ を調べる。$k = \sqrt{n^2 + 1125}$ とおくと、$k^2 - n^2 = 1125$ となる。$1125$ を素因数分解し、条件を満たす $n$ の個数、最大の $n$、そのときの $k$ を求める。

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、$\sqrt{n^2 + 1125}$ が整数となる $n$ を調べる。$k = \sqrt{n^2 + 1125}$ とおくと、$k^2 - n^2 = 1125$ となる。$1125$ を素因数分解し、条件を満たす $n$ の個数、最大の $n$、そのときの $k$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$1125$ を素因数分解する。

$1125 = 3 \times 375 = 3 \times 3 \times 125 = 3^2 \times 5^3$

したがって、$1125 = 3^2 \times 5^3 = 3^2 \times 5^2 \times 5$ より、$3^1 \times 5^2$となる。

次に、$k^2 - n^2 = (k+n)(k-n) = 1125$ を満たす $k, n$ を探す。

$k+n$ と $k-n$ は整数であり、積が $1125$ なので、$1125$ の約数の組み合わせを考える。

また、$k+n > k-n$ である。

$1125 = 3^2 \times 5^3$ の約数は、$1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 125, 225, 375, 1125$ である。

以下の組み合わせを考える。

1. $k+n = 1125, k-n = 1$

2. $k+n = 375, k-n = 3$

3. $k+n = 225, k-n = 5$

4. $k+n = 125, k-n = 9$

5. $k+n = 75, k-n = 15$

6. $k+n = 45, k-n = 25$

これらの連立方程式を解く。

1. $2k = 1126, k = 563, n = 562$

2. $2k = 378, k = 189, n = 186$

3. $2k = 230, k = 115, n = 110$

4. $2k = 134, k = 67, n = 58$

5. $2k = 90, k = 45, n = 30$

6. $2k = 70, k = 35, n = 10$

よって、$n$ は $562, 186, 110, 58, 30, 10$ の6個存在する。

最大の $n$ は $562$ であり、そのとき $k = 563$ である。

3. 最終的な答え

1: 1

2: 3

3: 6

4: 5

5: 6

6: 2

7: 5

8: 6

9: 3