点 $O(0, 0, 0)$ を原点とする。点 $A(x, y, z)$ を4倍に拡大した後、x軸回りに30度回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動する。 (1) 変換行列 $E$ を求めよ。 (2) 変換行列 $E$ の逆行列を求めよ。 (3) 点 $A(x, y, z)$ を求めよ。

1. 問題の内容

点 $O(0, 0, 0)$ を原点とする。点 $A(x, y, z)$ を4倍に拡大した後、x軸回りに30度回転させると、点 $A'(4, 2, 1)$ に移動する。

(1) 変換行列 $E$ を求めよ。

(2) 変換行列 $E$ の逆行列を求めよ。

(3) 点 $A(x, y, z)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 変換行列 $E$ の導出

まず、4倍の拡大変換を表す行列を $S$ 、x軸周りの30度回転を表す行列を $R_x$ とする。

$S = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

$R_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(30^\circ) & -\sin(30^\circ) \\ 0 & \sin(30^\circ) & \cos(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

変換行列 $E$ は、拡大変換の後に回転変換を行うので、 $E = R_x S$ で表される。

$E = R_x S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列 $E$ の逆行列 $E^{-1}$ の導出

$E^{-1} = (R_x S)^{-1} = S^{-1} R_x^{-1}$

$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$

$R_x^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(-30^\circ) & -\sin(-30^\circ) \\ 0 & \sin(-30^\circ) & \cos(-30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

$E^{-1} = S^{-1} R_x^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) 点 $A(x, y, z)$ の導出

$A' = E A$ であるから、$A = E^{-1} A'$ となる。

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = E^{-1} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{2\sqrt{3} + 1}{8} \\ \frac{-2 + \sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 変換行列 $E$:

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 2\sqrt{3} & -2 \\ 0 & 2 & 2\sqrt{3} \end{pmatrix}$

(2) 変換行列 $E$ の逆行列 $E^{-1}$:

$\begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{8} & \frac{1}{8} \\ 0 & -\frac{1}{8} & \frac{\sqrt{3}}{8} \end{pmatrix}$

(3) 点 $A(x, y, z)$:

$A = \left( 1, \frac{2\sqrt{3} + 1}{8}, \frac{\sqrt{3} - 2}{8} \right)$