与えられた2次式 $6x^2 + 11xy + 3y^2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $6x^2 + 11xy + 3y^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は $x$ と $y$ に関する2次式なので、 $(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解できると仮定します。

展開すると $acx^2 + (ad + bc)xy + bdy^2$ となります。

したがって、$ac = 6$、$ad + bc = 11$、$bd = 3$ を満たす $a, b, c, d$ を見つければ良いことになります。

$ac = 6$ と $bd = 3$ を満たす整数の組み合わせはいくつか考えられますが、$ad + bc = 11$ を考慮して試行錯誤します。

$a = 2, c = 3$ の場合、$2d + 3b = 11$ と $bd = 3$ を満たす $b, d$ を探します。

$b = 1, d = 3$ の場合、$2(3) + 3(1) = 6 + 3 = 9 \neq 11$ となり、条件を満たしません。

$b = 3, d = 1$ の場合、$2(1) + 3(3) = 2 + 9 = 11$ となり、条件を満たします。

したがって、$a = 2, b = 3, c = 3, d = 1$ が解の一つとなります。

よって、$6x^2 + 11xy + 3y^2 = (2x + 3y)(3x + y)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y)(3x + y)$