(1) 数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ で定義されている。このとき、$a_2$, $a_3$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。 (2) 数列 ${b_n}$ が $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n + 2 \cdot 6^n$ で定義されている。$c_n = \frac{b_n}{2^n}$ とおくと、$c_1$ を求め、$c_{n+1} = c_n + \square^n$ の $\square$ を埋める。さらに、$b_n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + 3^n$ で定義されている。このとき、$a_2$, $a_3$ を求め、一般項 $a_n$ を求める。

(2) 数列 ${b_n}$ が $b_1 = 2$, $b_{n+1} = 2b_n + 2 \cdot 6^n$ で定義されている。$c_n = \frac{b_n}{2^n}$ とおくと、$c_1$ を求め、$c_{n+1} = c_n + \square^n$ の $\square$ を埋める。さらに、$b_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$a_1 = 1$ であるから

$a_2 = a_1 + 3^1 = 1 + 3 = 4$

$a_3 = a_2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

$a_n$ を求める。$a_{n+1} - a_n = 3^n$ より、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{2 + 3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$.

(2)

$b_1 = 2$ より $c_1 = \frac{b_1}{2^1} = \frac{2}{2} = 1$

$c_{n+1} = \frac{b_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2b_n + 2 \cdot 6^n}{2^{n+1}} = \frac{b_n}{2^n} + \frac{2 \cdot 6^n}{2^{n+1}} = c_n + \frac{6^n}{2^n} = c_n + 3^n$

したがって、$c_{n+1} = c_n + 3^n$.

$c_n = c_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (c_{k+1} - c_k) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 3^k = 1 + \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = 1 + \frac{3^n - 3}{2} = \frac{3^n - 1}{2}$

$b_n = 2^n \cdot c_n = 2^n \cdot \frac{3^n - 1}{2} = 2^{n-1} (3^n - 1) = 2^{n-1}(3^n-1)$

3. 最終的な答え

a2 = 4

a3 = 13

an = (3^n - 1) / 2

c1 = 1

cn+1 = cn + 3^n

bn = 2^(n-1) (3^n - 1)