放物線 $y = x^2 - 4x + k + 2$ と直線 $y = kx - 5$ が接するときの $k$ の値を求め、それぞれの $k$ の値に対応する接点の座標を求める問題です。ただし、$k$ の値には大小関係があります。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + k + 2$ と直線 $y = kx - 5$ が接するときの $k$ の値を求め、それぞれの $k$ の値に対応する接点の座標を求める問題です。ただし、$k$ の値には大小関係があります。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの式を連立させて得られる2次方程式が重解を持つということです。

まず、$y$ を消去して、$x$ についての2次方程式を作ります。

$x^2 - 4x + k + 2 = kx - 5$

$x^2 - (4+k)x + k + 7 = 0$

この2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が 0 であることです。

$D = (4+k)^2 - 4(k+7) = 0$

$16 + 8k + k^2 - 4k - 28 = 0$

$k^2 + 4k - 12 = 0$

$(k+6)(k-2) = 0$

したがって、$k = -6, 2$ です。条件より、$k$ の値には大小関係があるので、$k = -6, 2$ です。

$k = -6$ のとき、2次方程式は $x^2 - (4-6)x + (-6) + 7 = 0$ より、$x^2 + 2x + 1 = 0$ となり、$(x+1)^2 = 0$ なので、$x = -1$ です。

$y = kx - 5 = -6(-1) - 5 = 6 - 5 = 1$ なので、接点の座標は $(-1, 1)$ です。

$k = 2$ のとき、2次方程式は $x^2 - (4+2)x + 2 + 7 = 0$ より、$x^2 - 6x + 9 = 0$ となり、$(x-3)^2 = 0$ なので、$x = 3$ です。

$y = kx - 5 = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1$ なので、接点の座標は $(3, 1)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -6, 2$

$k = -6$ のとき、接点の座標は $(-1, 1)$