与えられた関数 $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 5x^2$ のグラフを描くことを要求しています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 5x^4 - 3x^3 + 5x^2$ のグラフを描くことを要求しています。

2. 解き方の手順

グラフを描くためには、以下の手順で関数の性質を調べることが重要です。

* **関数の定義域:** 与えられた関数は多項式であるため、定義域はすべての実数です。

* **y切片:** $x = 0$ のとき、$f(0) = 5(0)^4 - 3(0)^3 + 5(0)^2 = 0$ となるため、y切片は原点(0,0)です。

* **x切片:** $f(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$5x^4 - 3x^3 + 5x^2 = 0$

$x^2(5x^2 - 3x + 5) = 0$

したがって、$x^2 = 0$ または $5x^2 - 3x + 5 = 0$。

$x^2 = 0$ から、$x = 0$ (重根) が得られます。

二次方程式 $5x^2 - 3x + 5 = 0$ の判別式は $D = (-3)^2 - 4(5)(5) = 9 - 100 = -91 < 0$ であるため、実数解を持ちません。

よって、x切片は原点(0,0)のみです。

* **関数の対称性:** $f(-x) = 5(-x)^4 - 3(-x)^3 + 5(-x)^2 = 5x^4 + 3x^3 + 5x^2$

$f(-x) \neq f(x)$ であり、$f(-x) \neq -f(x)$ であるため、この関数は偶関数でも奇関数でもありません。

* **極値:** 極値を求めるために、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 20x^3 - 9x^2 + 10x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(20x^2 - 9x + 10) = 0$

したがって、$x = 0$ または $20x^2 - 9x + 10 = 0$。

二次方程式 $20x^2 - 9x + 10 = 0$ の判別式は $D = (-9)^2 - 4(20)(10) = 81 - 800 = -719 < 0$ であるため、実数解を持ちません。

よって、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0$ のみです。

$x = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号を調べます。

$x < 0$ のとき、$f'(-0.1) = -0.1(20(0.01) + 0.9 + 10) < 0$

$x > 0$ のとき、$f'(0.1) = 0.1(20(0.01) - 0.9 + 10) > 0$

したがって、$x = 0$ で極小値をとります。極小値は $f(0) = 0$ です。

* **グラフの概形:** xが十分に大きいとき、$5x^4$ の項が支配的になるため、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$、$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \infty$ となります。また、原点で極小値を取り、他のx切片を持ちません。これらの情報からグラフの概形を推測できます。グラフの形は原点で谷のような形をしており、x軸の正の方向にも負の方向にも急激に増加していきます。

3. 最終的な答え

与えられた関数のグラフを描画するには、上記の情報を基にグラフを描きます。グラフは原点(0,0)で極小値を持ち、x軸との交点は原点のみで、x軸の正の方向と負の方向に向かって急速に増加します。具体的なグラフの描画は、グラフ用紙やグラフ作成ソフトを利用することが推奨されます。