$\log_2 3$ は無理数かという問題です。

1. 問題の内容

$\log_2 3$ は無理数かという問題です。

2. 解き方の手順

$\log_2 3$ が無理数であることを背理法を用いて証明します。

$\log_2 3$ が有理数であると仮定すると、ある整数 $m$ と $n$ （$n \neq 0$）を用いて、

$\log_2 3 = \frac{m}{n}$

と表すことができます。

この式を変形すると、

$2^{\frac{m}{n}} = 3$

となります。両辺を $n$ 乗すると、

$(2^{\frac{m}{n}})^n = 3^n$

$2^m = 3^n$

となります。

ここで、$m$ と $n$ は整数であるため、$2^m$ は偶数、$3^n$ は奇数となります。

しかし、偶数と奇数が等しくなることはあり得ません。これは矛盾です。

したがって、$\log_2 3$ は有理数であるという仮定が誤りであり、$\log_2 3$ は無理数です。

3. 最終的な答え

$\log_2 3$ は無理数である。