与えられた定積分を計算します。 $\int_{0}^{\pi} (\sin(5\theta) - \cos(21\theta)) \cdot \frac{1}{\tan(\theta)} \, d\theta$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} (\sin(5\theta) - \cos(21\theta)) \cdot \frac{1}{\tan(\theta)} \, d\theta$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$であることを利用して、積分を書き換えます。

$\int_{0}^{\pi} (\sin(5\theta) - \cos(21\theta)) \cdot \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(5\theta)\cos(\theta) - \cos(21\theta)\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \, d\theta$

積和の公式を利用します。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

$\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A+B) + \cos(A-B))$

したがって、

$\sin(5\theta)\cos(\theta) = \frac{1}{2} (\sin(6\theta) + \sin(4\theta))$

$\cos(21\theta)\cos(\theta) = \frac{1}{2} (\cos(22\theta) + \cos(20\theta))$

積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\pi} \frac{\frac{1}{2}(\sin(6\theta) + \sin(4\theta)) - \frac{1}{2}(\cos(22\theta) + \cos(20\theta))}{\sin(\theta)} \, d\theta$

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(6\theta) + \sin(4\theta) - \cos(22\theta) - \cos(20\theta)}{2\sin(\theta)} \, d\theta$

この積分はelementary functionでは表現できないです。

ただし、$\sin(5\theta)$ と $\cos(21\theta)$の展開を利用する可能性があります。

$\sin(5\theta) = 16\sin^5\theta - 20\sin^3\theta + 5\sin\theta$

$\cos(21\theta)$は同様に$\cos(\theta)$の多項式で表せる。

したがって、

$\int_0^{\pi} \frac{1}{\tan(\theta)} (\sin(5\theta) - \cos(21\theta)) \, d\theta = \int_0^{\pi} \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} (\sin(5\theta) - \cos(21\theta)) \, d\theta$

関数電卓を使用しても、答えを計算することはできないようです。

3. 最終的な答え

積分は elementary function で表現できないため、厳密解は求められません。