$y=x^2+2x$ と $y=3x$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$y=x^2+2x$ と $y=3x$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つのグラフの交点を求めます。

$x^2+2x = 3x$

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

したがって、交点のx座標は $x=0$ と $x=1$ です。

次に、積分範囲を定め、定積分を計算します。積分範囲は $0 \le x \le 1$ です。

積分する関数は、$y=3x$ と $y=x^2+2x$ の差です。区間 $[0, 1]$ で $3x \ge x^2+2x$ なので、$3x - (x^2+2x) = x - x^2$ を積分します。

$\int_{0}^{1} (x - x^2) dx$

$= [\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}$

$= (\frac{1}{2}(1)^2 - \frac{1}{3}(1)^3) - (\frac{1}{2}(0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3)$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$

$= \frac{3}{6} - \frac{2}{6}$

$= \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}$