3つの微分に関する問題です。 (1) 関数 $f(x) = px^2 + qx + r$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ を求める。選択肢は (1) $2pa+r$ (2) $2pa+q$ (3) $2pa+2r$ (4) $2pa+2q$ (2) 関数 $y = 3x^3 + 5x^2 - 4$ を微分する。 (3) 関数 $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ を $t$ について微分する。$v, g$ は定数。選択肢は (1) $v+gt$ (2) $v-gt$ (3) $v+2gt$ (4) $v-2gt$

1. 問題の内容

3つの微分に関する問題です。

(1) 関数 $f(x) = px^2 + qx + r$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ を求める。選択肢は (1) $2pa+r$ (2) $2pa+q$ (3) $2pa+2r$ (4) $2pa+2q$

(2) 関数 $y = 3x^3 + 5x^2 - 4$ を微分する。

(3) 関数 $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ を $t$ について微分する。$v, g$ は定数。選択肢は (1) $v+gt$ (2) $v-gt$ (3) $v+2gt$ (4) $v-2gt$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = px^2 + qx + r$ を微分すると、$f'(x) = 2px + q$ となります。

したがって、$f'(a) = 2pa + q$ となります。

選択肢の中からこれを選ぶと (2) になります。

(2) $y = 3x^3 + 5x^2 - 4$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 2x^{2-1} - 0 = 9x^2 + 10x$ となります。

よって、2=9, 3=10, 4= となります。

(3) $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dh}{dt} = v - \frac{1}{2} \cdot g \cdot 2t = v - gt$ となります。

選択肢の中からこれを選ぶと (2) になります。

3. 最終的な答え

(1) $f'(a) = 2pa + q$、選択肢は (2)

(2) $y' = 9x^2 + 10x$

(3) $\frac{dh}{dt} = v - gt$、選択肢は (2)