正の整数 $n$ に対して、$\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ に対して、$\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

$\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ が有理数であると仮定する。すなわち、ある有理数 $r$ が存在して、

$\sqrt{n} + \sqrt{n+1} = r$

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})^2 = r^2$

$n + 2\sqrt{n(n+1)} + n + 1 = r^2$

$2n + 1 + 2\sqrt{n(n+1)} = r^2$

$2\sqrt{n(n+1)} = r^2 - 2n - 1$

$\sqrt{n(n+1)} = \frac{r^2 - 2n - 1}{2}$

ここで、$r$ と $n$ が有理数であるから、$\frac{r^2 - 2n - 1}{2}$ も有理数である。したがって、$\sqrt{n(n+1)}$ は有理数である。

$\sqrt{n(n+1)}$ が有理数であると仮定すると、$n(n+1)$ はある整数の平方数である。

すなわち、$n(n+1) = k^2$ (k は整数) となる。

$n^2 + n = k^2$

$n^2 + n - k^2 = 0$

この二次方程式を $n$ について解くと、

$n = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4k^2}}{2}$

$n$ が整数であるためには、$1+4k^2$ がある整数の平方数である必要がある。

すなわち、$1+4k^2 = m^2$ (m は整数) となる。

$m^2 - 4k^2 = 1$

$m^2 - (2k)^2 = 1$

$(m - 2k)(m + 2k) = 1$

$m$ と $k$ が整数であるため、$m - 2k$ と $m + 2k$ は整数である。

したがって、

$m - 2k = 1$ かつ $m + 2k = 1$

または

$m - 2k = -1$ かつ $m + 2k = -1$

の場合のみが考えられる。

いずれの場合も、$m = 1$ かつ $k = 0$ となる。

$k = 0$ より、$n(n+1) = 0$。

したがって、$n = 0$ または $n = -1$ となるが、$n$ は正の整数であるという仮定に反する。

よって、$\sqrt{n(n+1)}$ は無理数である。

したがって、$r^2 - 2n - 1 \neq 0$ であり、$\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{n} + \sqrt{n+1}$ は無理数である。