関数 $y = x^3 - (a+2)x^2 + ax$ について、$a \in [0, 2]$ のとき、$y \le 0$ の部分と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S(a)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - (a+2)x^2 + ax$ について、$a \in [0, 2]$ のとき、$y \le 0$ の部分と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S(a)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ を因数分解する。

$y = x^3 - (a+2)x^2 + ax = x(x^2 - (a+2)x + a) = x(x-a)(x-2)$

$y = 0$ となる $x$ の値を求める。

$x(x-a)(x-2) = 0$ より、$x = 0, a, 2$。

$a \in [0, 2]$ であるから、以下の2つの場合が考えられる。

(1) $a = 0$ のとき: $y = x^2(x-2)$。$y \le 0$ となるのは $x \in (-\infty, 2]$。$S(0) = \int_0^2 -x^2(x-2) dx = \int_0^2 (-x^3 + 2x^2) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3}]_0^2 = -\frac{16}{4} + \frac{16}{3} = -4 + \frac{16}{3} = \frac{4}{3}$

(2) $0 < a < 2$ のとき: $0 < a < 2$。$y \le 0$ となるのは $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 2]$。$x \ge 0$ の範囲では $x \in [0,a]$ で $y \ge 0$ となり、$x \in [a,2]$ で $y \le 0$ となる。よって、$y \le 0$ の部分と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は、

$S(a) = \int_a^2 -x(x-a)(x-2) dx = \int_a^2 -(x^3 - (a+2)x^2 + 2ax) dx = \int_a^2 (-x^3 + (a+2)x^2 - 2ax) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{(a+2)x^3}{3} - ax^2]_a^2 = (-\frac{16}{4} + \frac{8(a+2)}{3} - 4a) - (-\frac{a^4}{4} + \frac{(a+2)a^3}{3} - a^3) = -4 + \frac{8}{3}a + \frac{16}{3} - 4a + \frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{3} - \frac{2a^3}{3} + a^3 = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}a + \frac{a^4}{12} + \frac{a^3}{3} = \frac{a^4}{12} + \frac{a^3}{3} - \frac{4}{3}a + \frac{4}{3}$

(3) $a = 2$ のとき: $y = x(x-2)^2$。$y \le 0$ となるのは $x \in (-\infty, 0]$。$S(2) = \int_2^2 -x(x-2)(x-2) dx = 0$

$S'(a) = \frac{a^3}{3} + a^2 - \frac{4}{3} = \frac{a^3 + 3a^2 - 4}{3} = \frac{(a-1)(a^2+4a+4)}{3} = \frac{(a-1)(a+2)^2}{3}$

$S'(a) = 0$ となるのは $a = 1, -2$。$a \in [0, 2]$ より、$a = 1$ のみが該当。

$S(0) = \frac{4}{3}, S(1) = \frac{1}{12} + \frac{1}{3} - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{1+4}{12} = \frac{5}{12}, S(2) = \frac{16}{12} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

$S(2) = \int_2^2 -x(x-2)^2 dx=0$

$S(a) = \int_a^2 -(x^3-(a+2)x^2+2ax)dx = [-\frac{x^4}{4} + (a+2)\frac{x^3}{3} - ax^2]^2_a = (-\frac{16}{4} + \frac{8}{3}(a+2) - 4a) - (-\frac{a^4}{4}+\frac{a^3}{3}(a+2)-a^3) = (-4 + \frac{8a}{3}+\frac{16}{3} - 4a) - (-\frac{a^4}{4}+\frac{a^4}{3}+\frac{2a^3}{3}-a^3) = -4+\frac{16}{3} - \frac{4}{3}a + \frac{a^4}{4}-\frac{a^4}{3}-\frac{2a^3}{3}+a^3 = \frac{4}{3}-\frac{4}{3}a - \frac{a^4}{12}+\frac{a^3}{3}$

S'(a) = -4/3 -a^3/3 + a^2 = 0

a=1, S(1) = 5/12, S(2) = 0, S(0) = 4/3

S(1)の計算ミス。

計算し直し

$S(a) = \int_a^2 -x(x-a)(x-2) dx = \int_a^2 -(x^3 - (a+2)x^2 + 2ax) dx = \int_a^2 (-x^3 + (a+2)x^2 - 2ax) dx = [-\frac{x^4}{4} + \frac{(a+2)x^3}{3} - ax^2]_a^2 = (-\frac{16}{4} + \frac{(a+2)8}{3} - a(4)) - (-\frac{a^4}{4} + \frac{(a+2)a^3}{3} - a^3) = -4 + \frac{8a+16}{3} - 4a + \frac{a^4}{4} - \frac{a^4+2a^3}{3} + a^3 = -4 + \frac{8a}{3} + \frac{16}{3} - 4a + \frac{a^4}{4} - \frac{a^4}{3} - \frac{2a^3}{3} + a^3 = \frac{4}{3} - \frac{4}{3}a - \frac{1}{12}a^4 + \frac{1}{3}a^3$.

$S'(a) = -\frac{4}{3} - \frac{1}{3}a^3 + a^2 = \frac{-4 - a^3 + 3a^2}{3} = -\frac{(a-1)(a^2 - 2a -4)}{3}$

$S'(a) = 0$ となるのは $a=1$

$a=1$のとき、S(1) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{1}{12} + \frac{1}{3} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$

最大値は4/3, 最小値は0

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{4}{3}$

最小値: $0$