与えられた曲線 $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の漸近線を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた曲線 $y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ の漸近線を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸近線を求めるためには、 $x \to \infty$ と $x \to -\infty$ における $y$ の極限を計算します。

まず、$x \to \infty$ の場合を考えます。

$x>0$ なので、$\sqrt{x^2}=x$。

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1$

次に、$x \to -\infty$ の場合を考えます。

$x<0$ なので、$\sqrt{x^2}=-x$。

$y = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = \frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2} = 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1+0}} = -1$

したがって、$x \to \infty$ のとき $y \to 1$、$x \to -\infty$ のとき $y \to -1$ であるから、漸近線は $y=1$ と $y=-1$ です。

3. 最終的な答え

漸近線の方程式は $y = 1$ と $y = -1$ です。