関数 $y = 2x + \sqrt{x^2 - 1}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x + \sqrt{x^2 - 1}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$y$ は2つの項の和なので、それぞれの項を微分します。

第1項 $2x$ の微分は、

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

第2項 $\sqrt{x^2 - 1}$ の微分は、合成関数の微分法（チェインルール）を使用します。

$u = x^2 - 1$ とおくと、$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{u}$ となります。

$\frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

したがって、合成関数の微分法により、

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 1}) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y$ の微分は、それぞれの項の微分の和なので、

$\frac{dy}{dx} = 2 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$