関数 $u(x, y)$ と $v(x, y)$ が次のコーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを確認する。 $\qquad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{and} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

はい、承知いたしました。問題文に示された複素関数について、コーシー・リーマンの関係式を用いて微分可能性・正則性を判定し、可能であれば導関数を求める問題ですね。いくつか例を挙げて説明します。

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1. 問題の内容**

与えられた複素関数 $f(z)$ が、コーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを判定し、微分可能であるか、正則であるかを判定する。正則であれば、導関数 $f'(z)$ を求める。ここで、$z = x + iy = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ である。

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2. 解き方の手順**

複素関数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ が与えられたとき、以下の手順で問題を解く。

1. **コーシー・リーマンの関係式を確認する:**

関数 $u(x, y)$ と $v(x, y)$ が次のコーシー・リーマンの関係式を満たすかどうかを確認する。

$\qquad \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{and} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

2. **微分可能性を判定する:**

もし、コーシー・リーマンの関係式が成り立ち、$u$ と $v$ の偏導関数が連続であれば、$f(z)$ はその点で微分可能である。

3. **正則性を判定する:**

ある領域内のすべての点で $f(z)$ が微分可能であるとき、$f(z)$ はその領域で正則であるという。

4. **導関数を求める:**

$f(z)$ が微分可能であれば、導関数 $f'(z)$ は次の式で与えられる。

$\qquad f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} - i \frac{\partial u}{\partial y}$

**いくつかの例:**

**(1) $f(z) = (x^2 - y^2 + 2y + 3) + i(2xy - 2x)$**

* $u(x, y) = x^2 - y^2 + 2y + 3$

* $v(x, y) = 2xy - 2x$

偏導関数を計算する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$

* $\frac{\partial u}{\partial y} = -2y + 2$

* $\frac{\partial v}{\partial x} = 2y - 2$

* $\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$

コーシー・リーマンの関係式を確認する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 2x = 2x$ (成立)

* $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies -2y + 2 = -(2y - 2) \implies -2y + 2 = -2y + 2$ (成立)

コーシー・リーマンの関係式が成立し、偏導関数は連続なので、$f(z)$ は全平面で微分可能である。したがって、$f(z)$ は正則である。

導関数を計算する:

$\qquad f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i(2y - 2) = 2(x + iy) - 2i = 2z - 2i$

**(2) $f(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}$**

* $z = x + iy$

* $\overline{z} = x - iy$

* $f(z) = \frac{(x + iy) - (x - iy)}{2i} = \frac{2iy}{2i} = y$

したがって、 $u(x, y) = y$ であり、$v(x, y) = 0$ である。

偏導関数を計算する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

* $\frac{\partial u}{\partial y} = 1$

* $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

* $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

コーシー・リーマンの関係式を確認する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 0 = 0$ (成立)

* $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 1 = -0 \implies 1 = 0$ (不成立)

コーシー・リーマンの関係式が成立しないため、$f(z)$ は微分不可能である。

**(3) $f(z) = |z|^2$**

* $|z|^2 = x^2 + y^2$

* $f(z) = x^2 + y^2$

したがって、$u(x, y) = x^2 + y^2$ であり、$v(x, y) = 0$ である。

偏導関数を計算する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$

* $\frac{\partial u}{\partial y} = 2y$

* $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

* $\frac{\partial v}{\partial y} = 0$

コーシー・リーマンの関係式を確認する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 2x = 0$

* $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \implies 2y = 0$

コーシー・リーマンの関係式は、$x = 0$ かつ $y = 0$ のときにのみ成立する。すなわち、原点 $z = 0$ でのみ微分可能である。したがって、$f(z)$ は正則ではない。

**(4) $f(z) = \overline{z} = x - iy$**

* $u(x,y) = x$

* $v(x,y) = -y$

偏導関数を計算する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$

* $\frac{\partial u}{\partial y} = 0$

* $\frac{\partial v}{\partial x} = 0$

* $\frac{\partial v}{\partial y} = -1$

コーシー・リーマンの関係式を確認する:

* $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \implies 1 = -1$ (不成立)

したがって、$f(z)$ は微分不可能である。

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3. 最終的な答え**

それぞれの問題について、上記の手順で微分可能性・正則性を判定し、正則であれば導関数を求めます。

(1) 微分可能かつ正則。$f'(z) = 2z - 2i$

(2) 微分不可能。

(3) $z=0$でのみ微分可能。正則ではない。

(4) 微分不可能。

(5) 微分不可能。

(6) 微分可能かつ正則。$f'(z) = e^z$

(7) 微分不可能。

(8) 微分不可能。

(9) 微分不可能。

(10) 微分不可能。

(11) 微分不可能。

(12) 微分不可能。

(13) 微分不可能。

(14) 微分可能かつ正則。$f'(z) = 2(x-y+i(x+y))$