与えられた2点A, Bを結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める問題です。 (1) A(1, 4), B(5, -2) を 1:2 に内分する点と、1:2 に外分する点 (2) A(4, 7), B(2, 1) を 3:2 に内分する点と、3:2 に外分する点 (3) A(-2, 5), B(4, 3) の中点

1. 問題の内容

与えられた2点A, Bを結ぶ線分ABについて、以下の点の座標を求める問題です。

(1) A(1, 4), B(5, -2) を 1:2 に内分する点と、1:2 に外分する点

(2) A(4, 7), B(2, 1) を 3:2 に内分する点と、3:2 に外分する点

(3) A(-2, 5), B(4, 3) の中点

2. 解き方の手順

(1)

内分点の公式: 点A($x_1$, $y_1$)、点B($x_2$, $y_2$)を $m:n$ に内分する点の座標は

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

外分点の公式: 点A($x_1$, $y_1$)、点B($x_2$, $y_2$)を $m:n$ に外分する点の座標は

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

A(1, 4), B(5, -2) を 1:2 に内分する点の座標は

$(\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1+2}, \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{1+2}) = (\frac{2+5}{3}, \frac{8-2}{3}) = (\frac{7}{3}, \frac{6}{3}) = (\frac{7}{3}, 2)$

A(1, 4), B(5, -2) を 1:2 に外分する点の座標は

$(\frac{-2 \cdot 1 + 1 \cdot 5}{1-2}, \frac{-2 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{1-2}) = (\frac{-2+5}{-1}, \frac{-8-2}{-1}) = (\frac{3}{-1}, \frac{-10}{-1}) = (-3, 10)$

(2)

A(4, 7), B(2, 1) を 3:2 に内分する点の座標は

$(\frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{3+2}, \frac{2 \cdot 7 + 3 \cdot 1}{3+2}) = (\frac{8+6}{5}, \frac{14+3}{5}) = (\frac{14}{5}, \frac{17}{5})$

A(4, 7), B(2, 1) を 3:2 に外分する点の座標は

$(\frac{-2 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{3-2}, \frac{-2 \cdot 7 + 3 \cdot 1}{3-2}) = (\frac{-8+6}{1}, \frac{-14+3}{1}) = (\frac{-2}{1}, \frac{-11}{1}) = (-2, -11)$

(3)

中点の公式: 点A($x_1$, $y_1$)、点B($x_2$, $y_2$)の中点の座標は

$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$

A(-2, 5), B(4, 3) の中点の座標は

$(\frac{-2+4}{2}, \frac{5+3}{2}) = (\frac{2}{2}, \frac{8}{2}) = (1, 4)$

3. 最終的な答え

(1) 内分点: $(\frac{7}{3}, 2)$, 外分点: $(-3, 10)$

(2) 内分点: $(\frac{14}{5}, \frac{17}{5})$, 外分点: $(-2, -11)$

(3) 中点: $(1, 4)$