問題は2つの極限を計算することです。 (1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$

1. 問題の内容

問題は2つの極限を計算することです。

(1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) の極限について:

$y = (1-e^x)^x$とおくと、$\log y = x \log(1-e^x)$となる。

$\lim_{x \to -0} e^x = 1$なので、$1 - e^x \to 0$。そこで、$\lim_{x \to -0} x \log(1-e^x)$を計算する。

$x \to -0$ のとき、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...$ より、 $1 - e^x \approx -x$。

$\lim_{x \to -0} x \log(-x) = \lim_{x \to -0} \frac{\log(-x)}{1/x}$。

これは不定形 $\frac{-\infty}{-\infty}$ なので、ロピタルの定理を使う。

$\lim_{x \to -0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to -0} (-x) = 0$.

したがって、$\lim_{x \to -0} \log y = 0$。よって、$\lim_{x \to -0} y = e^0 = 1$.

(2) の極限について:

$\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}}$ の分子と分母にそれぞれ共役な式を掛ける。

分子に$\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2}$を掛けて分母にも$\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2}$を掛ける。

$\frac{1-x-(1+x^2)}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{-x-x^2}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{-x(1+x)}{(\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2})(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}$

次に、分母$\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}$に$\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2}$を掛けて、分子にも$\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2}$を掛ける。

$\frac{-x(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(1-x - (1-x^2))(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{-x(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(-x+x^2)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{-x(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{-x(1-x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(1-x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})}$

$x \to 0$ のとき、

$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1-x^2})}{(1-x)(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x^2})} = \frac{(1+0)(\sqrt{1-0} + \sqrt{1-0^2})}{(1-0)(\sqrt{1-0} + \sqrt{1+0^2})} = \frac{1(1+1)}{1(1+1)} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to -0} (1-e^x)^x = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x} - \sqrt{1-x^2}} = 1$