## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の極限値を求め、関数 $f(x) = x^2 + x - 3$ に関する以下の問いに答える問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

2. 関数 $f(x) = x^2 + x - 3$ について

(1) 微分係数 $f'(1)$ を定義（平均変化率の極限）に従って求める。

(2) $x = 1$ における接線の方程式を求める。

(3) $x = a$ における接線の傾きが 0 となるような $a$ の値を求める。

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2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

分子と分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 1}{x - 2}$

$x = 1$ を代入すると、$\frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2$

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2}$

分母の有理化を行います。

$\frac{x - 2}{\sqrt{x+2} - 2} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(\sqrt{x+2} - 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{(x+2) - 4} = \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x - 2}$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(\sqrt{x+2} + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (\sqrt{x+2} + 2)$

$x = 2$ を代入すると、$\sqrt{2+2} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \times 3$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \times 3 = 1 \times 3 = 3$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ （これは定義または既知の極限です。）

3. 関数 $f(x) = x^2 + x - 3$ について

(1) 微分係数 $f'(1)$ を定義（平均変化率の極限）に従って求める。

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

$f(1) = 1^2 + 1 - 3 = -1$

$f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) - 3 = 1 + 2h + h^2 + 1 + h - 3 = h^2 + 3h - 1$

$f(1+h) - f(1) = (h^2 + 3h - 1) - (-1) = h^2 + 3h$

$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{h^2 + 3h}{h} = h + 3$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} (h + 3) = 3$

(2) $x = 1$ における接線の方程式を求める。

$f(1) = -1$

$f'(1) = 3$

接線の方程式は $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$

$y - (-1) = 3(x - 1)$

$y + 1 = 3x - 3$

$y = 3x - 4$

(3) $x = a$ における接線の傾きが 0 となるような $a$ の値を求める。

$f'(x) = 2x + 1$

$f'(a) = 2a + 1$

$f'(a) = 0$ となる $a$ を求めるので、

$2a + 1 = 0$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

(1) -2

(2) 4

(3) 3

(4) 1

2. 関数 $f(x) = x^2 + x - 3$ について

(1) $f'(1) = 3$

(2) $y = 3x - 4$

(3) $a = -\frac{1}{2}$