$\lim_{x \to 0} P(x) = \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} P(x) = \lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x})$ の極限を求めます。

$\sin(x^2)$ について、$x \to 0$ のとき、$x^2 \to 0$ となるため、$\sin(x^2) \to 0$ となります。

また、$\sin(\frac{1}{x})$ は、$x \to 0$ のとき、振動しますが、$-1 \le \sin(\frac{1}{x}) \le 1$ の範囲に収まります。

したがって、$\sin(x^2)$ が 0 に収束し、$\sin(\frac{1}{x})$ が有界であるため、$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) = 0$ となります。

より厳密に議論するために、はさみうちの原理を用いることができます。

$-1 \le \sin(\frac{1}{x}) \le 1$ より、

$-|\sin(x^2)| \le \sin(x^2)\sin(\frac{1}{x}) \le |\sin(x^2)|$

となります。

$\lim_{x \to 0} -|\sin(x^2)| = 0$

$\lim_{x \to 0} |\sin(x^2)| = 0$

であるため、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} \sin(x^2) \sin(\frac{1}{x}) = 0$ となります。

3. 最終的な答え

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