$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ を計算する問題です。発散する場合は DNE と入力します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x}$ を計算する問題です。発散する場合は DNE と入力します。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ を利用します。

まず、与えられた式を次のように変形します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3x}{5x}$

次に、$\frac{3x}{5x}$ を簡約します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot \frac{3}{5}$

ここで、$u = 3x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{5x} = 1 \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5