与えられた行列がユニタリ行列となるように、$a, b, c$ の値を定める問題です。与えられた行列を $U$ とすると、 $U = \begin{pmatrix} a & b & c \\ \frac{i}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1+i}{\sqrt{3}} \\ \frac{1-i}{\sqrt{7}} & \frac{2i}{\sqrt{7}} & \frac{i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix}$ となります。

1. 問題の内容

与えられた行列がユニタリ行列となるように、$a, b, c$ の値を定める問題です。与えられた行列を $U$ とすると、

$U = \begin{pmatrix} a & b & c \\ \frac{i}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{1+i}{\sqrt{3}} \\ \frac{1-i}{\sqrt{7}} & \frac{2i}{\sqrt{7}} & \frac{i}{\sqrt{7}} \end{pmatrix}$

となります。

2. 解き方の手順

ユニタリ行列の定義より、$U^* U = I$ を満たす必要があります。ここで、$U^*$ は $U$ の随伴行列（共役転置行列）であり、$I$ は単位行列です。まず、$U^* U = I$ の条件からいくつかの式を導き、それらを解いて $a, b, c$ の値を求めます。

まず、$U^* U = I$ より、$U$ の各列ベクトルは正規直交系をなす必要があります。つまり、各列ベクトルのノルムは1であり、異なる列ベクトル同士の内積は0である必要があります。

1列目のベクトルのノルムが1であることから、

$|a|^2 + |\frac{i}{\sqrt{3}}|^2 + |\frac{1-i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|a|^2 + \frac{1}{3} + \frac{2}{7} = 1$

$|a|^2 = 1 - \frac{1}{3} - \frac{2}{7} = \frac{21 - 7 - 6}{21} = \frac{8}{21}$

$|a| = \sqrt{\frac{8}{21}} = 2\sqrt{\frac{2}{21}}$

2列目のベクトルのノルムが1であることから、

$|b|^2 + 0^2 + |\frac{2i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|b|^2 + \frac{4}{7} = 1$

$|b|^2 = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$|b| = \sqrt{\frac{3}{7}}$

3列目のベクトルのノルムが1であることから、

$|c|^2 + |\frac{1+i}{\sqrt{3}}|^2 + |\frac{i}{\sqrt{7}}|^2 = 1$

$|c|^2 + \frac{2}{3} + \frac{1}{7} = 1$

$|c|^2 = 1 - \frac{2}{3} - \frac{1}{7} = \frac{21 - 14 - 3}{21} = \frac{4}{21}$

$|c| = \sqrt{\frac{4}{21}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$

1列目と2列目の内積が0であることから、

$\overline{a}b + \frac{-i}{\sqrt{3}} \cdot 0 + \frac{1+i}{\sqrt{7}} \cdot \frac{-2i}{\sqrt{7}} = 0$

$\overline{a}b + \frac{-2i - 2i^2}{7} = 0$

$\overline{a}b + \frac{2-2i}{7} = 0$

$\overline{a}b = \frac{-2+2i}{7}$

1列目と3列目の内積が0であることから、

$\overline{a}c + \frac{-i}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1+i}{\sqrt{3}} + \frac{1-i}{\sqrt{7}} \cdot \frac{-i}{\sqrt{7}} = 0$

$\overline{a}c + \frac{-i+1}{3} + \frac{-i-1}{7} = 0$

$\overline{a}c = \frac{i-1}{3} + \frac{i+1}{7} = \frac{7i-7+3i+3}{21} = \frac{10i-4}{21}$

2列目と3列目の内積が0であることから、

$\overline{b}c + 0 + \frac{-2i}{\sqrt{7}} \cdot \frac{-i}{\sqrt{7}} = 0$

$\overline{b}c + \frac{-2}{7} = 0$

$\overline{b}c = \frac{2}{7}$

$a, b, c$ は実数である必要はないので、これらの連立方程式を解くことで、$a, b, c$ を求めることができます。

1列目のベクトルのノルムが1であること、$|a|^2=\frac{8}{21}$

3列目のベクトルのノルムが1であること、$|c|^2 = \frac{4}{21}$

2列目と3列目の内積が0であること、$\overline{b}c = \frac{2}{7}$

これらの連立方程式を解くと、$a = -2\sqrt{\frac{2}{21}}$, $b = \sqrt{\frac{3}{7}}$, $c=\frac{2}{\sqrt{21}}$ がわかります。

3. 最終的な答え

$a = -2\sqrt{\frac{2}{21}}$, $b = \sqrt{\frac{3}{7}}$, $c=\frac{2}{\sqrt{21}}$