二次関数 $y = 2x^2 + 12x + 19$ の $-4 \leq x \leq -1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を答える問題です。

1. 問題の内容

二次関数 $y = 2x^2 + 12x + 19$ の $-4 \leq x \leq -1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を答える問題です。

2. 解き方の手順

まず、二次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 12x + 19 = 2(x^2 + 6x) + 19 = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 19 = 2(x+3)^2 - 18 + 19 = 2(x+3)^2 + 1$

この関数は、下に凸の放物線で、頂点が $(-3, 1)$ であることが分かります。

次に、定義域 $-4 \leq x \leq -1$ における関数の振る舞いを考えます。

頂点の $x$ 座標は $-3$ で、これは定義域に含まれています。

$x = -3$ のとき、関数は最小値 $y = 1$ をとります。

次に、定義域の端点における関数の値を計算します。

$x = -4$ のとき、$y = 2(-4+3)^2 + 1 = 2(-1)^2 + 1 = 2 + 1 = 3$

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1+3)^2 + 1 = 2(2)^2 + 1 = 8 + 1 = 9$

したがって、定義域内で最大値は $x = -1$ のときに $y = 9$ となり、最小値は $x = -3$ のときに $y = 1$ となります。

3. 最終的な答え

ア: -1

イ: 9

ウ: -3

エ: 1