$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるような最小の自然数 $n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\frac{\sqrt{3n}}{5}$ が自然数となるためには、$\sqrt{3n}$ が5の倍数でなければならない。

つまり、$\sqrt{3n} = 5k$ （$k$は自然数）と表せる必要がある。

両辺を2乗すると、

$3n = 25k^2$

$n = \frac{25k^2}{3}$

$n$ が自然数であるためには、$k^2$ が3の倍数でなければならない。

したがって、$k$ は3の倍数である。

$k=3m$ ($m$は自然数) とおくと、

$n = \frac{25(3m)^2}{3} = \frac{25 \cdot 9m^2}{3} = 25 \cdot 3m^2 = 75m^2$

$n$ を最小とするためには、$m=1$ とすればよい。

このとき、$n = 75 \cdot 1^2 = 75$

3. 最終的な答え

75