自然数 $n$ が6と互いに素であるとき、$n^2 - 1$ が6で割り切れることを示す問題です。

1. 問題の内容

自然数 $n$ が6と互いに素であるとき、$n^2 - 1$ が6で割り切れることを示す問題です。

2. 解き方の手順

$n$が6と互いに素であることから、$n$は2の倍数でも3の倍数でもありません。

つまり、$n$は奇数であり、かつ3の倍数ではないということになります。

まず、$n$が奇数であることから、$n = 2k+1$ （$k$は整数）と表すことができます。

このとき、

$n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1)$

$k$と$k+1$は連続する整数なので、どちらか一方は偶数です。したがって、$k(k+1)$は偶数であり、$k(k+1) = 2l$ （$l$は整数）と表せます。

よって、$n^2 - 1 = 4(2l) = 8l$

これは、$n^2 - 1$ が8の倍数であることを示しています。しかし、6の倍数であることを示す必要があるので、この方法ではうまくいきません。

別の方法を試します。

$n$が6と互いに素であるということは、$n$は2と互いに素であり、かつ3と互いに素であるということです。

したがって、$n$は奇数であり、かつ3の倍数ではありません。

$n$が奇数であることから、$n^2 - 1$は偶数です。つまり、$n^2 - 1$は2の倍数です。

$n$が3と互いに素であることから、$n$を3で割った余りは1または2です。

* $n = 3k + 1$ (kは整数) のとき

$n^2 - 1 = (3k+1)^2 - 1 = 9k^2 + 6k + 1 - 1 = 9k^2 + 6k = 3k(3k+2)$

この場合、$n^2 - 1$ は3の倍数であると言えます。さらに、$k$が偶数ならば$3k$は6の倍数となり、$k$が奇数ならば$3k+2$は奇数なので、$k=2l+1$とした場合、$3k(3k+2) = 3(2l+1)(3(2l+1)+2) = 3(2l+1)(6l+5) = 3(12l^2+16l+5) = 36l^2 + 48l + 15$となります。

* $n = 3k + 2$ (kは整数) のとき

$n^2 - 1 = (3k+2)^2 - 1 = 9k^2 + 12k + 4 - 1 = 9k^2 + 12k + 3 = 3(3k^2 + 4k + 1) = 3(3k+1)(k+1)$

この場合、$n^2 - 1$は3の倍数です。

いずれの場合も、$n^2 - 1$ は3の倍数であることがわかります。

したがって、$n^2 - 1$ は2の倍数であり、かつ3の倍数です。

2と3は互いに素なので、$n^2 - 1$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数であるといえます。

3. 最終的な答え

$n^2 - 1$ は 6 で割り切れる。