与えられた式 $-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$b+c-a = -(a-b-c)$

$c+a-b = -(b-c-a)$

$a+b-c = -(c-a-b)$

これらの変形を元の式に代入すると、

$-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = -(a+b+c) \cdot (-(a-b-c)) \cdot (-(b-c-a)) \cdot (-(c-a-b))$

$=-(a+b+c) \cdot (-1)(a-b-c) \cdot (-1)(b-c-a) \cdot (-1)(c-a-b)$

$= (a+b+c)(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)$

ここで、$x=a+b+c, y=a-b-c, z=b-c-a, w=c-a-b$とすると、

$x+y = 2a, x-y=2(b+c)$

$x+z = 2b, x-z=2(a+c)$

$x+w = 2c, x-w=2(a+b)$

$a=\frac{x+y}{2}, b=\frac{x+z}{2}, c=\frac{x+w}{2}$

元の式を以下のように変形します。

$(a+b+c)(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b) = (a+b+c)(-(b+c-a))(-(a+c-b))(-(a+b-c))$

$= (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

$= ((a+b)+c)((a+b)-c)(a-(b-c))(a+(b-c))$

$= ((a+b)^2 - c^2)(a^2 - (b-c)^2)$

$= (a^2+2ab+b^2-c^2)(a^2-b^2+2bc-c^2)$

$= (a^2+b^2-c^2+2ab)(a^2-b^2-c^2+2bc)$

$= (a^2+b^2-c^2)^2+2ab(a^2+b^2-c^2) + 2bc(a^2+b^2-c^2) + 4ab^2c$

$= a^4+b^4+c^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2-2b^2c^2+2a^3b+2ab^3-2abc^2+2a^2bc+2b^3c-2bc^3+4ab^2c$

$= a^4+b^4+c^4+4a^2b^2-4a^2c^2$

ここで、$4a^2b^2-4a^2c^2 = 4a^2(b^2-c^2)$

ヘロンの公式に関連する式変形を利用します。

$16S^2 = 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$

$16S^2 = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$

$-(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) = (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=16S^2$

もし$S$を面積と解釈するとヘロンの公式から

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

元の式は

$(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)= 2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4$

3. 最終的な答え

$2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$