以下の3つの式を展開または因数分解する問題です。 (1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$ (2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$ (3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

1. 問題の内容

以下の3つの式を展開または因数分解する問題です。

(1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$

(2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$

(3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

2. 解き方の手順

(1)

$A = 2x$ 、$B = 3y$ とおくと、与式は $(A+B)^3 + (A-B)^3$と表せる。

$(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

$(A+B)^3 + (A-B)^3 = 2A^3 + 6AB^2$

よって、$2A^3 + 6AB^2 = 2(2x)^3 + 6(2x)(3y)^2 = 2(8x^3) + 12x(9y^2) = 16x^3 + 108xy^2$

(2)

$A = a^2 + 9$ 、$B = 3a$ とおくと、与式は $(A+B)(A-B)$と表せる。

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

よって、$(a^2 + 9)^2 - (3a)^2 = (a^4 + 18a^2 + 81) - 9a^2 = a^4 + 9a^2 + 81$

(3)

与式を $(x-4)(x+3)(x-2)(x+1)$ のように並び替える。

$(x-4)(x+3) = x^2 - x - 12$

$(x-2)(x+1) = x^2 - x - 2$

$A = x^2 - x$ とおくと、与式は $(A - 12)(A - 2) = A^2 - 14A + 24$

よって、$(x^2 - x)^2 - 14(x^2 - x) + 24 = x^4 - 2x^3 + x^2 - 14x^2 + 14x + 24 = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $16x^3 + 108xy^2$

(2) $a^4 + 9a^2 + 81$

(3) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$