与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた恒等式 $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$ を利用して、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$S$ の各項に与えられた恒等式を適用する。

$S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \cdots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right)\right]$

ここで、括弧の中身を見ると、隣り合う項が打ち消し合う（望遠鏡和）。

$S = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n+1-1}{2n+1}\right)$

$S = \frac{1}{2} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)$

$S = \frac{n}{2n+1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{2n+1}$