与えられた複素数を極形式で表す問題です。 複素数は以下の6つです。 (1) $1+i$ (2) $1-i$ (3) $-2\sqrt{3}+2i$ (4) $1$ (5) $-1$ (6) $-i$

1. 問題の内容

与えられた複素数を極形式で表す問題です。

複素数は以下の6つです。

(1) $1+i$

(2) $1-i$

(3) $-2\sqrt{3}+2i$

(4) $1$

(5) $-1$

(6) $-i$

2. 解き方の手順

複素数 $z = a + bi$ の極形式は $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で表されます。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ は絶対値（または大きさ）であり、$\theta$ は偏角です。

(1) $z = 1+i$ の場合

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\tan\theta = \frac{1}{1} = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{4}$

よって、$z = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

(2) $z = 1-i$ の場合

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\tan\theta = \frac{-1}{1} = -1$ より、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ （または $\frac{7\pi}{4}$）

よって、$z = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(3) $z = -2\sqrt{3}+2i$ の場合

$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$

$\tan\theta = \frac{2}{-2\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ より、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

よって、$z = 4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

(4) $z = 1$ の場合

$r = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$

$\tan\theta = \frac{0}{1} = 0$ より、$\theta = 0$

よって、$z = 1(\cos 0 + i\sin 0) = \cos 0 + i\sin 0$

(5) $z = -1$ の場合

$r = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$

$\tan\theta = \frac{0}{-1} = 0$ より、$\theta = \pi$

よって、$z = 1(\cos \pi + i\sin \pi) = \cos \pi + i\sin \pi$

(6) $z = -i$ の場合

$r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$

$\tan\theta = \frac{-1}{0}$ より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ （または $\frac{3\pi}{2}$）

よって、$z = 1(\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})) = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})$

(2) $\sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

(3) $4(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6})$

(4) $\cos 0 + i\sin 0$

(5) $\cos \pi + i\sin \pi$

(6) $\cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$