複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で与えられているとき、$-z$ と $-\overline{z}$ をそれぞれ極形式で表す。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で与えられているとき、$-z$ と $-\overline{z}$ をそれぞれ極形式で表す。

2. 解き方の手順

(1) $-z$ を求める。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、

$-z = -r(\cos\theta + i\sin\theta)$

$= r(-\cos\theta - i\sin\theta)$

ここで、$-\cos\theta = \cos(\theta + \pi)$ かつ $-\sin\theta = \sin(\theta + \pi)$ であるから、

$-z = r(\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi))$

(2) $-\overline{z}$ を求める。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、$\overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta)$ である。

これは、$\overline{z} = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta))$ と書ける。

したがって、$-\overline{z} = -r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) = r(-\cos(-\theta) - i\sin(-\theta))$.

ここで、$-\cos(-\theta) = \cos(\pi - \theta)$ かつ $-\sin(-\theta) = \sin(\pi - \theta)$ であるから、

$-\overline{z} = r(\cos(\pi - \theta) + i\sin(\pi - \theta))$.

3. 最終的な答え

$-z = r(\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi))$

$-\overline{z} = r(\cos(\pi - \theta) + i\sin(\pi - \theta))$