多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $5$、$x+5$ で割った余りが $-27$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x+5)$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $5$、$x+5$ で割った余りが $-27$ である。$P(x)$ を $(x-3)(x+5)$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

余りを $ax + b$ とおくと、

$P(x) = (x-3)(x+5)Q(x) + ax + b$ と表せる。

$P(3) = 5$ より、$3a + b = 5$。

$P(-5) = -27$ より、$-5a + b = -27$。

連立方程式

$3a + b = 5$

$-5a + b = -27$

を解く。

1式目から2式目を引くと、

$8a = 32$

$a = 4$

$b = 5 - 3a = 5 - 3(4) = 5 - 12 = -7$

したがって、余りは $4x - 7$ である。

3. 最終的な答え

$4x-7$