関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、 (1) 曲線 $y = f(x)$, $x$軸, $y$軸および直線 $x = \log 2$ で囲まれた図形の面積を求める。 (2) (1)の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さを求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x})$ について、

(1) 曲線 $y = f(x)$, $x$軸, $y$軸および直線 $x = \log 2$ で囲まれた図形の面積を求める。

(2) (1)の図形を$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ の $0 \le x \le \log 2$ の部分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 面積 $S$ は、

$S = \int_0^{\log 2} f(x) dx = \int_0^{\log 2} \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) dx$

$= \frac{1}{6} \left[ \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}e^{-3x} \right]_0^{\log 2} = \frac{1}{18} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{1}{18} \left[ e^{3\log 2} - e^{-3\log 2} - (e^0 - e^0) \right] = \frac{1}{18} \left[ e^{\log 2^3} - e^{\log 2^{-3}} \right]$

$= \frac{1}{18} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{18} \left[ \frac{64 - 1}{8} \right] = \frac{63}{18 \cdot 8} = \frac{7}{16}$

(2) 体積 $V$ は、

$V = \pi \int_0^{\log 2} [f(x)]^2 dx = \pi \int_0^{\log 2} \left[ \frac{1}{6}(e^{3x} + e^{-3x}) \right]^2 dx$

$= \frac{\pi}{36} \int_0^{\log 2} (e^{6x} + 2 + e^{-6x}) dx = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6}e^{6x} + 2x - \frac{1}{6}e^{-6x} \right]_0^{\log 2}$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6}(e^{6\log 2} - e^{-6\log 2}) + 2\log 2 - \frac{1}{6}(e^0 - e^0) \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6}(2^6 - 2^{-6}) + 2\log 2 \right] = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6}(64 - \frac{1}{64}) + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1}{6} \cdot \frac{4096 - 1}{64} + 2\log 2 \right] = \frac{\pi}{36} \left[ \frac{4095}{384} + 2\log 2 \right]$

$= \frac{\pi}{36} \left[ \frac{1365}{128} + \frac{256 \log 2}{128} \right] = \left( \frac{455}{1536} + \frac{8}{9}\log 2 \right) \pi$

$f'(x) = \frac{1}{6} (3e^{3x} - 3e^{-3x}) = \frac{1}{2} (e^{3x} - e^{-3x})$

(3) 長さ $L$ は、

$L = \int_0^{\log 2} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx = \int_0^{\log 2} \sqrt{1 + \frac{1}{4}(e^{3x} - e^{-3x})^2} dx$

$= \int_0^{\log 2} \sqrt{1 + \frac{1}{4}(e^{6x} - 2 + e^{-6x})} dx = \int_0^{\log 2} \sqrt{\frac{1}{4}(e^{6x} + 2 + e^{-6x})} dx$

$= \int_0^{\log 2} \sqrt{\frac{1}{4}(e^{3x} + e^{-3x})^2} dx = \int_0^{\log 2} \frac{1}{2}(e^{3x} + e^{-3x}) dx$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}e^{3x} - \frac{1}{3}e^{-3x} \right]_0^{\log 2} = \frac{1}{6} \left[ e^{3x} - e^{-3x} \right]_0^{\log 2} = \frac{1}{6} \left[ e^{3\log 2} - e^{-3\log 2} \right]$

$= \frac{1}{6} \left[ 8 - \frac{1}{8} \right] = \frac{1}{6} \left[ \frac{63}{8} \right] = \frac{21}{16}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{16}$

(2) $\left( \frac{455}{1536} + \frac{8}{9} \log 2 \right) \pi = (\frac{1365}{4608} + \frac{512}{4608}\log 2)\pi = \left(\frac{1365+512\log2}{4608}\right)\pi$

元の問題文から、分子と分母が整数で表されるように求められていると思われるため、

$\left(\frac{4095}{2304} + \frac{2\log 2}{36} \right)\pi = \left(\frac{1365}{768}+\frac{\log 2}{18}\right)\pi = \left( \frac{455}{256} + \frac{1}{18} \log2 \right)\pi$

(3) $\frac{21}{16}$