$x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とし、$n$ を正の整数とする。このとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ のとりうる値を全て求める。

1. 問題の内容

$x^3 = 1$ の虚数解の一つを $\omega$ とし、$n$ を正の整数とする。このとき、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ のとりうる値を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 = 1$ を解くと、$(x-1)(x^2+x+1)=0$ となり、$x=1$ または $x^2+x+1=0$ となる。

$\omega$ は虚数解なので、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を満たす。

また、$\omega^3 = 1$ である。

よって、$\frac{1}{\omega^n} = \frac{\omega^{3n}}{\omega^n} = \omega^{2n}$ である。

したがって、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n} = \omega^n + \omega^{2n}$ を考える。

ここで、$n$ を $3$ で割った余りを $k$ とすると、$n = 3q+k$ （$q$ は整数、$k=0,1,2$）と表せる。

$\omega^n = \omega^{3q+k} = (\omega^3)^q \cdot \omega^k = 1^q \cdot \omega^k = \omega^k$

$\omega^{2n} = \omega^{2(3q+k)} = (\omega^3)^{2q} \cdot \omega^{2k} = 1^{2q} \cdot \omega^{2k} = \omega^{2k}$

よって、$\omega^n + \omega^{2n} = \omega^k + \omega^{2k}$ を計算すれば良い。

$k=0$ のとき、$\omega^0 + \omega^{2\cdot0} = 1+1 = 2$

$k=1$ のとき、$\omega^1 + \omega^{2\cdot1} = \omega + \omega^2 = -1$ （$\omega^2+\omega+1=0$ より）

$k=2$ のとき、$\omega^2 + \omega^{2\cdot2} = \omega^2 + \omega^4 = \omega^2 + \omega^3 \cdot \omega = \omega^2 + \omega = -1$

したがって、$\omega^n + \frac{1}{\omega^n}$ は $2$ または $-1$ の値をとる。

3. 最終的な答え

2, -1