自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明する。 (1) $2^n > n^2$ ($n \geq 5$) (2) $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ ($n \geq 2$)

1. 問題の内容

自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを数学的帰納法で証明する。

(1) $2^n > n^2$ ($n \geq 5$)

(2) $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ ($n \geq 2$)

2. 解き方の手順

(1) $2^n > n^2$ ($n \geq 5$) の証明

(i) $n = 5$ のとき:

左辺: $2^5 = 32$

右辺: $5^2 = 25$

よって、$2^5 > 5^2$ が成り立つ。

(ii) $n = k$ ($k \geq 5$) のとき、$2^k > k^2$ が成り立つと仮定する。

$n = k + 1$ のとき、$2^{k+1} > (k+1)^2$ を示す。

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2k^2$ (帰納法の仮定より)

ここで、$2k^2 > (k+1)^2$ を示す。

$2k^2 > k^2 + 2k + 1$

$k^2 - 2k - 1 > 0$

$f(k) = k^2 - 2k - 1$ とすると、$f(5) = 25 - 10 - 1 = 14 > 0$

$k \geq 5$ のとき、$f'(k) = 2k - 2 > 0$ なので、$f(k)$ は単調増加。したがって、$k \geq 5$ で $f(k) > 0$ が成り立つ。

したがって、$2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての $n \geq 5$ について、$2^n > n^2$ が成り立つ。

(2) $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ ($n \geq 2$) の証明

(i) $n = 2$ のとき:

左辺: $\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

右辺: $\frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ が成り立つ。

(ii) $n = k$ ($k \geq 2$) のとき、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} < \frac{k-1}{k}$ が成り立つと仮定する。

$n = k + 1$ のとき、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{k}{k+1}$ を示す。

$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{k-1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2}$ (帰納法の仮定より)

$\frac{k-1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{k}{k+1}$ を示す。

$\frac{k-1}{k} + \frac{1}{(k+1)^2} - \frac{k}{k+1} < 0$

$\frac{(k-1)(k+1)^2 + k - k^2(k+1)}{k(k+1)^2} < 0$

$\frac{(k-1)(k^2+2k+1) + k - k^3 - k^2}{k(k+1)^2} < 0$

$\frac{k^3 + 2k^2 + k - k^2 - 2k - 1 + k - k^3 - k^2}{k(k+1)^2} < 0$

$\frac{-1}{k(k+1)^2} < 0$

これは、$k \geq 2$ で常に成り立つ。

したがって、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{k^2} + \frac{1}{(k+1)^2} < \frac{k}{k+1}$ が成り立つ。

(i), (ii) より、すべての $n \geq 2$ について、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) すべての $n \geq 5$ について、$2^n > n^2$ が成り立つ。

(2) すべての $n \geq 2$ について、$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ が成り立つ。