円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ADB = 24^\circ$, $\angle BAC = 42^\circ$、線分ACと線分BDの交点をEとするとき、$\angle AEB=90^\circ$である。このとき、$\angle ABC$、つまり$x$の角度を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle ADB = 24^\circ$, $\angle BAC = 42^\circ$、線分ACと線分BDの交点をEとするとき、$\angle AEB=90^\circ$である。このとき、$\angle ABC$、つまり$x$の角度を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle ACB = \angle ADB = 24^\circ$です。

* 三角形ABEにおいて、$\angle AEB = 90^\circ$, $\angle BAE = 42^\circ$なので、$\angle ABE = 180^\circ - 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ$となります。

* $\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC$なので、$x = \angle ABE + \angle EBC = 48^\circ + \angle EBC$。

* $\angle ABD = \angle ACB = 24^\circ$です。(円周角の定理)

* $\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC = \angle ABE + \angle DBC$

* $\angle DBC = \angle DAC$（円周角の定理）であり、$\angle DAC$は$\angle BAC$と$\angle BAD$に分割されます。

* $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD$

* ここで、$\angle CAD = \angle CBD$

* $\angle ABC = \angle ABE + \angle EBC = 48^\circ + \angle ACB = 48^\circ + 24^\circ = 72^\circ$

3. 最終的な答え

72°