次の2つの関数について、$x$ の変域が与えられたとき、$y$ の変域を求めます。 (1) $y = 3x^2$, $-3 \le x \le 2$ (2) $y = -\frac{2}{3}x^2$, $-1 \le x \le 3$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、$x$ の変域が与えられたとき、$y$ の変域を求めます。

(1) $y = 3x^2$, $-3 \le x \le 2$

(2) $y = -\frac{2}{3}x^2$, $-1 \le x \le 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^2$ の場合：

この関数は上に開いた放物線であり、頂点は原点 $(0, 0)$ です。

$x$ の変域 $-3 \le x \le 2$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 = 0$ (最小値の候補)。

$x = -3$ のとき、$y = 3(-3)^2 = 3(9) = 27$。

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 = 3(4) = 12$。

したがって、最大値は $27$、最小値は $0$ となります。

(2) $y = -\frac{2}{3}x^2$ の場合：

この関数は下に開いた放物線であり、頂点は原点 $(0, 0)$ です。

$x$ の変域 $-1 \le x \le 3$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

$x = 0$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(0)^2 = 0$ (最大値の候補)。

$x = -1$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(-1)^2 = -\frac{2}{3}(1) = -\frac{2}{3}$。

$x = 3$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(3)^2 = -\frac{2}{3}(9) = -6$。

したがって、最大値は $0$、最小値は $-6$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le y \le 27$

(2) $-6 \le y \le 0$