30の階乗（30!）を素因数分解したものが与えられています。 $30! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdots 23^i \cdot 29^j$ このとき、以下の2つの問いに答えます。 (1) $a, b, c$ の値を求めます。 (2) 30! の末尾に連続して並ぶ0の個数を求めます。

1. 問題の内容

30の階乗（30!）を素因数分解したものが与えられています。

$30! = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdots 23^i \cdot 29^j$

このとき、以下の2つの問いに答えます。

(1) $a, b, c$ の値を求めます。

(2) 30! の末尾に連続して並ぶ0の個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a, b, c$ の値を求める。

$a$ は30!に含まれる素因数2の個数です。

$b$ は30!に含まれる素因数3の個数です。

$c$ は30!に含まれる素因数5の個数です。

ルジャンドルの定理を利用します。

$a = \left\lfloor \frac{30}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{2^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{2^3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{2^4} \right\rfloor = 15 + 7 + 3 + 1 = 26$

$b = \left\lfloor \frac{30}{3} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{3^3} \right\rfloor = 10 + 3 + 1 = 14$

$c = \left\lfloor \frac{30}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{5^2} \right\rfloor = 6 + 1 = 7$

(2) 30! の末尾に連続して並ぶ0の個数を求める。

末尾に0が並ぶ個数は、30!に含まれる10の因子の個数に等しいです。

10 = 2 * 5なので、30!に含まれる2の個数と5の個数のうち、少ない方の個数が10の個数となります。

(1)より、2の個数は26個、5の個数は7個なので、10の個数は7個です。

したがって、30!の末尾には0が7個連続して並びます。

3. 最終的な答え

(1) $a = 26$, $b = 14$, $c = 7$

(2) 7個