$\left(x^2 - \frac{1}{2x^3}\right)^5$ の展開式における定数項を求める。

1. 問題の内容

$\left(x^2 - \frac{1}{2x^3}\right)^5$ の展開式における定数項を求める。

2. 解き方の手順

二項定理より、$\left(x^2 - \frac{1}{2x^3}\right)^5$ の一般項は

$_{5}C_r (x^2)^{5-r} \left(-\frac{1}{2x^3}\right)^r = _{5}C_r x^{2(5-r)} \left(-\frac{1}{2}\right)^r \frac{1}{x^{3r}} = _{5}C_r \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{10-2r-3r} = _{5}C_r \left(-\frac{1}{2}\right)^r x^{10-5r}$

定数項を求めたいので、$x$ の指数が0になるような $r$ を探す。

$10-5r=0$ より、$r=2$

したがって、定数項は

$_{5}C_2 \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5!}{2!3!} \cdot \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$