2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 6$ のグラフが、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 6$ のグラフが、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わるような定数 $m$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 2mx + m + 6$ のグラフが、$x$軸の負の部分と異なる2点で交わるための条件は、以下の3つです。

(1) $x$軸と異なる2点で交わる（判別式 $D > 0$）

(2) 2つの交点の $x$ 座標の積が正である（$f(0) > 0$）

(3) 2つの交点の $x$ 座標の和が負である（軸の位置が負）

(1) 判別式 $D$ について

$D/4 = m^2 - (m + 6) = m^2 - m - 6 > 0$

$(m - 3)(m + 2) > 0$

$m < -2$ または $m > 3$

(2) $f(0) > 0$ について

$f(0) = m + 6 > 0$

$m > -6$

(3) 軸の位置について

軸は $x = -m$ であるから、$-m < 0$

$m > 0$

上記の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -2$ または $m > 3$

$m > -6$

$m > 0$

これらの条件を数直線上に図示すると、$m > 3$ となります。

3. 最終的な答え

$m > 3$