1から15までの数が書かれた15枚のカードの中から5枚を選ぶ。そのうち3枚が偶数、2枚が奇数となるような選び方の総数を求めよ。

1. 問題の内容

1から15までの数が書かれた15枚のカードの中から5枚を選ぶ。そのうち3枚が偶数、2枚が奇数となるような選び方の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1から15までの整数の中に偶数と奇数がそれぞれいくつあるかを確認する。

偶数は2, 4, 6, 8, 10, 12, 14の7個。

奇数は1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15の8個。

次に、偶数7個から3個を選ぶ組み合わせの数を計算する。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

偶数の選び方: $_7C_3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

次に、奇数8個から2個を選ぶ組み合わせの数を計算する。

奇数の選び方: $_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

最後に、偶数の選び方と奇数の選び方を掛け合わせることで、条件を満たす5枚のカードの選び方の総数が求まる。

総数 = 偶数の選び方 × 奇数の選び方

3. 最終的な答え

総数 = $35 \times 28 = 980$

したがって、3枚が偶数で2枚が奇数となるような5枚のカードの選び方は980通りである。