組み合わせの計算問題です。${}_{10}C_7$ の値を求めます。

1. 問題の内容

組み合わせの計算問題です。${}_{10}C_7$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式は、${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ です。

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$ です。

${}_{10}C_7$ を計算するために、公式に代入します。

${}_{10}C_7 = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!}$

階乗を展開します。

${}_{10}C_7 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)}$

分子と分母の共通の因子を約分します。具体的には、$7!$ を約分します。

${}_{10}C_7 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}$

さらに約分します。

${}_{10}C_7 = \frac{10 \times 3 \times 4}{1} = 10 \times 3 \times 4$

計算します。

${}_{10}C_7 = 120$

別の解き方として、組み合わせの性質 ${}_nC_r = {}_nC_{n-r}$ を利用すると、

${}_{10}C_7 = {}_{10}C_{10-7} = {}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

3. 最終的な答え

120