(13) ($\frac{1}{5}$)$^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

(13) ($\frac{1}{5}$)$^{10}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$y = (\frac{1}{5})^{10}$ とおきます。両辺の常用対数を取ります。

$\log_{10} y = \log_{10} (\frac{1}{5})^{10} = 10 \log_{10} \frac{1}{5} = 10 \log_{10} 5$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2$ なので、

$\log_{10} 5 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

したがって、

$\log_{10} y = 10 \times 0.6990 = -10(1-\log_{10}2) = -10 \log_{10}5 = -10(1-0.3010) = -6.990$

$\log_{10} y = -6.990$ であるから、 $y = 10^{-6.990} = 10^{-7+0.01} = 10^{0.01} \times 10^{-7}$となります。

$10^{0.01}$は１より少し大きい数となるので、$\log_{10}y = -6.990$ の整数部分は -7 なので、小数第7位に初めて0でない数字が現れます。

3. 最終的な答え

7位