$m$を自然数とするとき、$m^2$を5で割ったときの余りが0, 1, 4のいずれかであることを示す問題です。

1. 問題の内容

$m$を自然数とするとき、$m^2$を5で割ったときの余りが0, 1, 4のいずれかであることを示す問題です。

2. 解き方の手順

自然数$m$を5で割ったときの余りで分類して考えます。

$m$は自然数なので、$m$を5で割った余りは0, 1, 2, 3, 4のいずれかです。

(i) $m = 5k$ (kは整数) のとき

$m^2 = (5k)^2 = 25k^2 = 5(5k^2)$

よって、$m^2$を5で割った余りは0。

(ii) $m = 5k + 1$ (kは整数) のとき

$m^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

よって、$m^2$を5で割った余りは1。

(iii) $m = 5k + 2$ (kは整数) のとき

$m^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

よって、$m^2$を5で割った余りは4。

(iv) $m = 5k + 3$ (kは整数) のとき

$m^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

よって、$m^2$を5で割った余りは4。

(v) $m = 5k + 4$ (kは整数) のとき

$m^2 = (5k + 4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

よって、$m^2$を5で割った余りは1。

(i)から(v)より、$m^2$を5で割った余りは0, 1, 4のいずれかである。

3. 最終的な答え

$m^2$を5で割ったときの余りは0, 1, 4のいずれかである。