$n$ が2以上の整数のとき、$n^3 - n$ が6で割り切れることを示す問題です。

数論整数の性質割り算因数分解倍数

2025/6/18

1. 問題の内容

n

が2以上の整数のとき、

n^3 - n

が6で割り切れることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、

n^3 - n

を因数分解します。

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)

これは、

n-1

,

n

,

n+1

という連続する3つの整数の積を表しています。

連続する3つの整数のうち、少なくとも1つは2の倍数であり、また少なくとも1つは3の倍数です。

したがって、

n(n-1)(n+1)

は2の倍数かつ3の倍数であるため、6の倍数となります。

3. 最終的な答え

n

が2以上の整数のとき、

n^3 - n

は6で割り切れる。

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