$n$ を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけであることを示す。ただし、すべての自然数は $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) のいずれかで表されることを利用する。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とするとき、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけであることを示す。ただし、すべての自然数は $3k-2$, $3k-1$, $3k$ ($k$ は自然数) のいずれかで表されることを利用する。

2. 解き方の手順

すべての自然数 $n$ は、$3k-2$, $3k-1$, $3k$ のいずれかで表される。

それぞれの場合について、$n$, $n+2$, $n+4$ のいずれかが素数でないことを示す。

(i) $n = 3k-2$ の場合

$n+4 = (3k-2) + 4 = 3k+2$

この場合、$n$, $n+2$, $n+4$ は、$3k-2$, $3k$, $3k+2$となる。

もし $k = 1$ ならば、$n=1$, $n+2=3$, $n+4=5$ となり、$n=1$ は素数ではない。

もし $k>1$ならば、$n+2 = 3k$ は $3$ で割り切れるので素数ではない($k>1$のとき$3k>3$となるから）。

(ii) $n = 3k-1$ の場合

$n+2 = (3k-1) + 2 = 3k+1$

$n+4 = (3k-1) + 4 = 3k+3 = 3(k+1)$

$n+4$ は $3$ で割り切れるので素数ではない。ただし、$k+1>1$なので、$n+4 > 3$だから$n+4$は素数ではない。

(iii) $n = 3k$ の場合

$n$ が $3$ で割り切れるので、$n$ が素数であるためには $n=3$ でなければならない。

このとき、$k=1$ であり、$n=3$, $n+2=5$, $n+4=7$ となり、すべて素数である。

したがって、$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけである。

3. 最終的な答え

$n$, $n+2$, $n+4$ がすべて素数であるのは $n=3$ の場合だけである。