与えられた2つの問題について、それぞれ計算を行い、空欄を埋める問題です。 問題2.2.1: $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{15}) = \square \sqrt{2} + \square \sqrt{3} + \square \sqrt{5} + \sqrt{\square}$ 問題2.2.2: $\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\square + \sqrt{\square}}{2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの問題について、それぞれ計算を行い、空欄を埋める問題です。

問題2.2.1: $(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{15}) = \square \sqrt{2} + \square \sqrt{3} + \square \sqrt{5} + \sqrt{\square}$

問題2.2.2: $\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{\square + \sqrt{\square}}{2}$

2. 解き方の手順

問題2.2.1:

まず、$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{15})$を展開します。

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{6}+\sqrt{15}) = \sqrt{2}\sqrt{6} + \sqrt{2}\sqrt{15} + \sqrt{3}\sqrt{6} + \sqrt{3}\sqrt{15}$

$= \sqrt{12} + \sqrt{30} + \sqrt{18} + \sqrt{45}$

$= 2\sqrt{3} + \sqrt{30} + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$

$= 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + \sqrt{30}$

したがって、空欄はそれぞれ3, 2, 3, 30となります。

問題2.2.2:

まず、各項の分母を有理化します。

$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{3(7 + \sqrt{35})}{7-5} = \frac{3(7+\sqrt{35})}{2} = \frac{21+3\sqrt{35}}{2}$

$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}(\sqrt{7}-\sqrt{5})}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{35}-5)}{7-5} = \frac{2(\sqrt{35}-5)}{2} = \sqrt{35}-5$

$\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} - \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{21+3\sqrt{35}}{2} - (\sqrt{35}-5) = \frac{21+3\sqrt{35} - 2\sqrt{35} + 10}{2} = \frac{31 + \sqrt{35}}{2}$

したがって、空欄はそれぞれ31, 35となります。

3. 最終的な答え

問題2.2.1:

$3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + \sqrt{30}$

問題2.2.2:

$\frac{31 + \sqrt{35}}{2}$