与えられた2つの2次関数の、定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x$ ($2 \le x \le 6$) (2) $y = -2x^2 - 4x + 3$ ($-3 \le x \le 0$)

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数の、定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x$ ($2 \le x \le 6$)

(2) $y = -2x^2 - 4x + 3$ ($-3 \le x \le 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x$ について：

まず、平方完成を行います。

$y = \frac{1}{3}(x^2 - 6x) = \frac{1}{3}(x^2 - 6x + 9 - 9) = \frac{1}{3}((x-3)^2 - 9) = \frac{1}{3}(x-3)^2 - 3$

頂点は $(3, -3)$ で、下に凸の放物線です。

定義域は $2 \le x \le 6$ なので、頂点は定義域に含まれています。

$x=3$ のとき $y = -3$（最小値）

$x=2$ のとき $y = \frac{1}{3}(2)^2 - 2(2) = \frac{4}{3} - 4 = \frac{4-12}{3} = -\frac{8}{3}$

$x=6$ のとき $y = \frac{1}{3}(6)^2 - 2(6) = \frac{36}{3} - 12 = 12 - 12 = 0$

よって、最大値は $0$ ($x=6$ のとき)

(2) $y = -2x^2 - 4x + 3$ について：

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 + 2x) + 3 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = -2((x+1)^2 - 1) + 3 = -2(x+1)^2 + 2 + 3 = -2(x+1)^2 + 5$

頂点は $(-1, 5)$ で、上に凸の放物線です。

定義域は $-3 \le x \le 0$ なので、頂点は定義域に含まれています。

$x=-1$ のとき $y = 5$（最大値）

$x=-3$ のとき $y = -2(-3)^2 - 4(-3) + 3 = -2(9) + 12 + 3 = -18 + 12 + 3 = -3$

$x=0$ のとき $y = -2(0)^2 - 4(0) + 3 = 3$

よって、最小値は $-3$ ($x=-3$ のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $0$、最小値: $-3$

(2) 最大値: $5$、最小値: $-3$