a, a, b, c, d, e, f, g の文字が書かれた 8 枚のカードを横一列に並べるとき、以下の確率を求めます。 (1) d, e, f の 3 枚のカードがこの順番で隣り合う確率 (2) b と c のカードが隣り合わない確率 (3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

1. 問題の内容

a, a, b, c, d, e, f, g の文字が書かれた 8 枚のカードを横一列に並べるとき、以下の確率を求めます。

(1) d, e, f の 3 枚のカードがこの順番で隣り合う確率

(2) b と c のカードが隣り合わない確率

(3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

2. 解き方の手順

(1) d, e, f がこの順番で隣り合う確率

まず、d, e, f をひとまとめにして考えます。すると、並べるものは a, a, b, c, (def), g の 6 つになります。

この 6 つの並べ方は $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通りです。

全体の並べ方は $\frac{8!}{2!} = \frac{40320}{2} = 20160$ 通りです。

したがって、d, e, f がこの順番で隣り合う確率は $\frac{360}{20160} = \frac{36}{2016} = \frac{1}{56}$

(2) b と c のカードが隣り合わない確率

まず、b と c が隣り合う確率を求め、それを 1 から引くことで、b と c が隣り合わない確率を求めます。

b と c が隣り合う場合、(bc) または (cb) のように、b と c をひとまとめにして考えます。

b と c をひとまとめにしたものを考え、(bc) または (cb) の2通りがあります。

(bc) をひとまとめにして考えると、並べるものは a, a, (bc), d, e, f, g の 7 つになります。

この 7 つの並べ方は $\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ 通りです。

(cb) の場合も同様に 2520 通りです。したがって、b と c が隣り合う場合は $2520 \times 2 = 5040$ 通りです。

b と c が隣り合う確率は $\frac{5040}{20160} = \frac{504}{2016} = \frac{1}{4}$ です。

したがって、b と c が隣り合わない確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ です。

(3) g のカードより左にも右にも a のカードがある確率

g のカードの位置で場合分けします。

- g が左端にある場合：右には必ず a がある必要があります。残りの7枚の並び方は $\frac{7!}{2!}$ 通りです。gの右にaを固定すると、残りはa,b,c,d,e,fの6枚となり、並び方は6!通り。

- g が右端にある場合：左には必ず a がある必要があります。残りの7枚の並び方は $\frac{7!}{2!}$ 通りです。gの左にaを固定すると、残りはa,b,c,d,e,fの6枚となり、並び方は6!通り。

- g が左端でも右端でもない場合：g の左と右に少なくとも1枚の a が必要です。

- g の左と右に a がある場合を考えます。まず、g の左と右に a を配置します。残りの 6 枚 (a, b, c, d, e, f) を並べる方法は $\frac{6!}{1!} = 720$ 通りです。

全体の並べ方は $\frac{8!}{2!} = 20160$ 通りです。

g が端にある場合は、g の隣に a を固定し、残りの並び方は $\frac{6!}{1!} = 720$ 通りです。 gが左端の場合と右端の場合があるので、$2 \times 720=1440$通り。

gが端にない場合は、g の左と右両方に a が必要。まず、2つの a のうち1つをgの左に、もう1つをgの右に置く。残りのカードは b,c,d,e,f となる。残りのカードとgを自由に並び替える。gの両隣がaとなる並び方を計算する。

まずgを固定する。gの左と右にaを固定する。残りの5枚のカードの並び方は5! = 120通り。gの位置は端以外に6通りあるので、6 * 120 = 720通り。

よって、確率は$\frac{720+1440}{20160} = \frac{2160}{20160} = \frac{216}{2016} = \frac{3}{28}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{56}$

(2) $\frac{3}{4}$

(3) $\frac{3}{28}$